等边三角形与动态问题（1）——中考备考系列[尖子生之路]
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等边三角形与动态问题（1）
【例1】
【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角形的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．
（1）若AB＝6，AE＝4，BD＝2，则CF＝ ；
（2）求证：△EBD∽△DCF．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示．问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出BD/BC的值；若不存在，请说明理由．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为 （用含α的表达式表示）．
【图文解析】
两个三角形均为特殊的三角形，结合已知条件不难得到：
（1）当AB＝6，AE＝4，BD＝2时，进一步地，有：
（2）上述的第一个图，已经证明△EBD∽△DCF（“一线三等角”）．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示．问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出BD/BC的值；若不存在，请说明理由．
【图文解析】
假设存在点D，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，如下图示：
不难看出，此时DE和FD均为△AEF的外角平分线，因此不难证得点D一定在△AEF的∠A的平分线上（课本习题），证明如下：
即AD平分∠A，又因△ABC为等边三角形，所以AD又是△ABC中边BC的中线，得BD＝0.5BC，所以BD/BC＝1/2．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON＝∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B＝α，则△AEF与△ABC的周长之比为 （用含α的表达式表示）．
【图文解析】
由【思考】可知：当O为BC边的中点时，OE、OF分别平分∠BEF、∠CFE，即点O为△AEF的两个外角平分线的交点．如下图示：
进一步，添加与角平分线相关的辅助线（类似于“【思考】“），如下图示：
不难得到：EG＝EH，FH＝FI，AG＝AI，如下图示：
所以△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝AE＋EH＋FH＋AF＝AE＋EG＋FI＋AF＝AG＋AI＝2AG．
为计算方便，不防设OB＝m，下面结合已知条件计算AB和AG的长：如下图示：
得到△AEF的周长
＝2 AG＝2msinα×tanα
=2msinα×sinα/cosα
△ABC的周长
＝2（AB+OB）
＝2m(1+1/cosα)．
△AEF与△ABC的周长之比为：
（注意：上述用到了一个结论（公式），tanα=sinα/cosα，用三角函数的结论不难证明）．若不运用这个公式，可用相似或用勾股定理求出AG的长．
【反思】注意题中的相关结论成立的条件：如图示，△ABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，∠MON＝∠B（底角）．结论是：OE、OF分别平分∠BEF、∠CFE，即点O为△AEF的两个外角平分线的交点．
思考：这个结论还能如何证明？若点E在直线AB上，结论还成立吗？
【例2】如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点．
（1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．
①当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值= ．
【图文解析】
（1）简析：如下图示，根据等边三角形的性质和对称性得到：∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，再根据直角三角形的性质得到OB＝2OD，所以AO＝2OD.
（2）如下图示，
要找出“PN+PD的长度取得最小值”的点，可以根据“两点之间，线段最短”或“垂线最短”（当然能建立函数关系，转化为求函数的最值问题也可，但本题没必要），为此经常作定点关于定直线的对称点，根据对称的性质，进行转化。如下图示：
根据等边三角形的对称性，PN+PD＝PN+PD’，根据“垂线段最短”，可得：
当D’、P、N在同一直线上时，PN+PD最短，最短是D’N（即过D’的垂线段）.
如下图示，不难求得：D’N＝BNcos60°＝3/2.
（3）如下图示，
现将图形放大，同时隐藏一些跟本小题无关的线段，如下图示：
类似上述解析，可得QN+NP+PD取得最小值时，P、N点的位置如下图示：
QN+NP+PD的最小值即为D’Q’的长. 下面可能通过添加如下图所示的辅助线进行求解。
根据对称性，可得∠Q′BN=∠QBN＝∠QBD’ =30°，得到∠D′BQ′=90°.
在Rt△D′BQ′中，BD’=3，BQ’＝1，由勾股定理，得D′Q′=根号10，从而QN+NP+PD的最小值为根号10.
故答案为：根号10．
【反思】利用正三角形本身的对称性，和轴对称的性质，可将“最值问题”转化为“两点之间，线段最短”或“垂线最短”的问题，也是常用的解此类问题方法，务必要细心体会其中的解题思路.
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【例3】如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边三角形△HAC与等边△DCB，连接DH．
（1）如图1，当∠DHC＝900时，求BC/AC的值；
（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE，BE，求证：CE平分∠AEB；
（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（00＜α＜900）如图2．点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．
【图文解析】
（1）如下图示：
当∠DHC＝900时，在△DCH中，不难得到：∠CDH＝300，从而得到CH＝0.5CD，所以DC/CH＝2，进一步得到BC/AC＝2.详细过程如下：
∵△HAC和△DCB是等边三角形，
∴∠ACH＝∠DCB＝600，
AC＝HC，BC＝CD.
∴∠HCD＝1800－∠ACH－∠DCB＝1800－600－600＝600.
∵∠DHC＝900 ∴∠HDC＝300.
∴CH＝0.5CD，∴BC＝2AC.
∴BC/AC＝2.
（2）根据题意，作出如下图所示的图形.
由对称性知：∠EHD＝900，EH＝HC，又由于AH＝HC，所以EH＝AH，同时∠CHE＝1800，即E、H、C三点共线，如下图示：
可得到：∠AEC＝300.
另一方面，也不难得到∠BEC＝300.如图示：
所以可得到∠AEC＝∠BEC.
因此CE平分∠AEB.
详细过程如下：
（3）（本题有多种解法，仅提供“辅助圆”法）如下图示：
不难得到A、C、E三点均在以H为圆心，以HC为半径的圆上，得到∠AEC＝0.5∠AHC＝300.
同理∠BEC＝300.如下图示：
∴∠AEC＝∠BEC.
∴EC平分∠AEB．
详细过程如下：
如下图示：
结论仍正确，理由如下：
由对称性可知：．
又，∴．
∵A，C，E都在以H为圆心，
HA为半径的圆上，
∴∠AEC＝0.5∠AHC＝300.
同理：∠BEC＝300.
∴∠AEC＝∠BEC.
∴EC平分∠AEB．
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